هل يمكن أن توضح الفرق بين معادلات المتجه ، والمعادلات حدودي ، والمعادلات الديكارتية؟


الاجابه 1:

سأستخدم معادلة الطائرة في

R3\R^3

كمثال.

المعادلة الأكثر عمومية للطائرة في شكل الديكارتية هي

ax+by+cz=0ax+by+cz=0

هذه مجرد معادلة جبرية. تعد المعادلات الديكارتية متعددة الحدود فقط (وليس العكس). إذا كنت ستقوم بتحليل مجموعة الأصفار من هذه المعادلة ورسم تلك الأصفار فيها

R3\R^3

، ثم سوف تحصل على طائرة.

معادلة المتجه من الطائرة

x=v0+sv1+tv2,s,tR\vec{x}=\vec{v_0}+s\vec{v_1}+t\vec{v_2},\:\:\:\:s,t\in\R

[xyz]=[x0y0z0]+s[v1v2v3]+t[w1w2w3]\begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x_0\\y_0\\z_0\end{bmatrix}+s\begin{bmatrix} v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}+t\begin{bmatrix} w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}

هذه مجرد معادلة تتضمن المتجهات. هنا

v0\vec{v_0}

هي نقطة على متن الطائرة و

v1\vec{v_1}

و

v2\vec{v_2}

هي متجهات الاتجاه (متجهان مستقلان خطيًا يقعان في الطائرة). المعادلة الثانية هي مجرد معادلة المتجه الموسع في شكل مصفوفة باستخدام إحداثيات المتجهات فيما يتعلق بالأساس القياسي ل

R3\R^3

(i^,j^,k^)(\hat{i},\hat{j},\hat{k})

.

المعادلة المعلمية للطائرة هي التالية

{x=x0+sv1+tw1y=y0+sv2+tw2z=z0+sv3+tw3\begin{cases}x=x_0+sv_1+tw_1\\ y=y_0+sv_2+tw_2\\ z=z_0+sv_3+tw_3\end{cases}

يصف كل إحداثي كدالة معلمتين

ss

و

tt

.