ما هو الفرق بين لاغرانج وهاملتون؟


الاجابه 1:

أظن أنك لم تدرس الميكانيكا التحليلية أو الميكانيكا في السنة الرابعة أو الدراسات العليا. هذا حيث ستلتقط العناصر ذات الصلة من حساب التفاضل والتكامل لفهم ذلك.

 

يوفر اللاجرانيان والهاملتونيان أوصافًا بديلة ، لكن مكافئة ، للنظام المادي. إنها مرتبطة بتحول رياضي يسمى "تحويل الأسطورة". في الأساس ، يمكن تحويل أي مشكلة يمكن صياغتها باستخدام Lagrangian إلى مشكلة مماثلة باستخدام Hamiltonian ، والعكس بالعكس. إن الاختيار بين استخدام واحد أو آخر يأتي إلى أي واحد يعطي مشكلة أسهل في التعامل مع الرياضيات.

 

في دراسة رياضيات التحسين ، ستسمى المشكلتان "الثنائيات" لبعضهما البعض. في الواقع ، تصبح مسألة لاجرانجيانس وهاملتونيانز بأكملها أكثر وضوحًا عندما يتم وضع رياضيات التحسين في الاعتبار. ومع ذلك ، الطريقة التي يتم بها تقديم الفيزياء غالبًا ، يمكن لجانب التحسين للمشكلة المادية أن يأتي ويذهب بنوع من السرعة "إذا رمشت ، فستفوتها".


الاجابه 2:

12mx˙2\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2

12kx2\frac{1}{2}kx^2

Lx ddtLx˙=0\frac{\partial L}{\partial x}  - \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = 0

LL

xx

x˙\dot{x}

L=12mx˙212kx2L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}^2-\frac{1}{2}kx^2

kxmx¨=0-kx-m\ddot{x}=0

Hx=p˙\frac{\partial H}{\partial x} = -\dot{p}

Hp=x˙\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{x}

HH

xx

pp

p=mx˙p=m\dot{x}

H=p22m+12kx2H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}kx^2

kx=p˙kx = -\dot{p}

pm=x˙\frac{p}{m}=\dot{x}

H=x˙Lx˙LH = \dot{x} \frac{\partial L}{\dot x}-L


الاجابه 3:

بطريقة ما ، لا يوجد فرق جوهري بين ميكانيكا نيوتن ، ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاميلتون. سيوفرون لك جميعًا حلولًا مكافئة للتطور الزمني للنظام. و Lagrangian و Hiltonian هي تحولات Legendre من بعضها البعض. بشكل أساسي ، يتيح لك Lagrangian العمل في مساحة التكوين ويسمح لك Hamiltonian بالعمل في مساحة طور. أي واحدة تستخدمها لمشكلة معينة تتلخص في كونها أكثر ملاءمة أو أسهل في الحل. بالنسبة لنظام ذي مساحة تكوين للبعد n ، فإن معادلات هاملتون هي مجموعة من المعادلات التفاضلية ثنائية النواة المقرونة من الدرجة 2n ، بينما معادلات Euler-Lagrange هي مجموعة من المعادلات التفاضلية غير المنفصلة من الدرجة الثانية.


الاجابه 4:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.


الاجابه 5:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.


الاجابه 6:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.


الاجابه 7:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.


الاجابه 8:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

YouintegratetheLagrangianwithrespecttotimetogetaquantitycalledtheaction,andtheactiondeterminesthedynamicsofthesystembyHamiltonsprinciple(yes,Iknowthenameisconfusing).Thisprinciplestatesthatthesystemevolvesinsuchawaysothattheactionisstationarywithrespecttoperturbationsthatleavetheboundaryconditions(i.e.,initialandfinalstate)constant.Forexample,ifaparticletravelsfrompointAtopointBovertheintervaloftime[t1,t2],theactionofthepathittakesmustbestationarywithinthespaceofallpathsfromAtoBwhichstartattime[math]t1[/math]andendattime[math]t2[/math].ThesolutiontothisvariationalproblemisgivenbytheEulerLagrangeequations.You integrate the Lagrangian with respect to time to get a quantity called the action, and the action determines the dynamics of the system by Hamilton's principle (yes, I know the name is confusing). This principle states that the system evolves in such a way so that the action is stationary with respect to perturbations that leave the boundary conditions (i.e., initial and final state) constant. For example, if a particle travels from point A to point B over the interval of time [t_1, t_2], the action of the path it takes must be stationary within the space of all paths from A to B which start at time [math]t_1[/math] and end at time [math]t_2[/math]. The solution to this variational problem is given by the Euler--Lagrange equations.

AsfortheHamiltonian,onceyouwritedowntheHamiltonian,youcanmuchmoredirectlywritedownthetimeevolutionofthesystem,inthesensethatifthesystemisdescribedbythevariables(q1,,qN,p1,,pN),youcanimmediatelycompute[math]q˙1,,q˙N,p˙1,,p˙N[/math]soyoucanpredictwhatstatethesystemwillevolveintoafteraninfinitesimalintervaloftimeelapses.(Inclassicalmechanics,togetthesetimederivatives,youactuallyhavetocomputederivativesoftheHamiltonian,butinquantummechanics,itisevensimpler,andtheHamiltonianisjustanoperatorwhichactsonthestatetoimmediatelygivethetimederivativeofthestate,uptoaconstantfactor.)ButbecausetheHamiltonianisdesignedtoletyouevolvethesysteminaparticulartimedirection,itisnotmanifestlyLorentzinvariantthewaytheLagrangianis.As for the Hamiltonian, once you write down the Hamiltonian, you can much more directly write down the time evolution of the system, in the sense that if the system is described by the variables (q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N), you can immediately compute [math]\dot{q}_1, \ldots, \dot{q}_N, \dot{p}_1, \ldots, \dot{p}_N[/math] so you can predict what state the system will evolve into after an infinitesimal interval of time elapses. (In classical mechanics, to get these time derivatives, you actually have to compute derivatives of the Hamiltonian, but in quantum mechanics, it is even simpler, and the Hamiltonian is just an operator which acts on the state to immediately give the time derivative of the state, up to a constant factor.) But because the Hamiltonian is designed to let you evolve the system in a particular time direction, it is not manifestly Lorentz-invariant the way the Lagrangian is.

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.


الاجابه 9:

في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة

H^Ψ=itΨ\hat H |\Psi \rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi \rangle

هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".

من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:

H=pdxdtLH = p\frac{dx}{dt} - L

الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:

L=12(μϕ)(μϕ)12m2ϕ2\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi)(\partial^\mu \phi) - \frac{1}{2}m^2 \phi^2

نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.

تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.

EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.