ما هو الفرق بين لاغرانج وهاملتون؟
الاجابه 1:
أظن أنك لم تدرس الميكانيكا التحليلية أو الميكانيكا في السنة الرابعة أو الدراسات العليا. هذا حيث ستلتقط العناصر ذات الصلة من حساب التفاضل والتكامل لفهم ذلك.
يوفر اللاجرانيان والهاملتونيان أوصافًا بديلة ، لكن مكافئة ، للنظام المادي. إنها مرتبطة بتحول رياضي يسمى "تحويل الأسطورة". في الأساس ، يمكن تحويل أي مشكلة يمكن صياغتها باستخدام Lagrangian إلى مشكلة مماثلة باستخدام Hamiltonian ، والعكس بالعكس. إن الاختيار بين استخدام واحد أو آخر يأتي إلى أي واحد يعطي مشكلة أسهل في التعامل مع الرياضيات.
في دراسة رياضيات التحسين ، ستسمى المشكلتان "الثنائيات" لبعضهما البعض. في الواقع ، تصبح مسألة لاجرانجيانس وهاملتونيانز بأكملها أكثر وضوحًا عندما يتم وضع رياضيات التحسين في الاعتبار. ومع ذلك ، الطريقة التي يتم بها تقديم الفيزياء غالبًا ، يمكن لجانب التحسين للمشكلة المادية أن يأتي ويذهب بنوع من السرعة "إذا رمشت ، فستفوتها".
الاجابه 2:
الاجابه 3:
بطريقة ما ، لا يوجد فرق جوهري بين ميكانيكا نيوتن ، ميكانيكا لاغرانج وميكانيكا هاميلتون. سيوفرون لك جميعًا حلولًا مكافئة للتطور الزمني للنظام. و Lagrangian و Hiltonian هي تحولات Legendre من بعضها البعض. بشكل أساسي ، يتيح لك Lagrangian العمل في مساحة التكوين ويسمح لك Hamiltonian بالعمل في مساحة طور. أي واحدة تستخدمها لمشكلة معينة تتلخص في كونها أكثر ملاءمة أو أسهل في الحل. بالنسبة لنظام ذي مساحة تكوين للبعد n ، فإن معادلات هاملتون هي مجموعة من المعادلات التفاضلية ثنائية النواة المقرونة من الدرجة 2n ، بينما معادلات Euler-Lagrange هي مجموعة من المعادلات التفاضلية غير المنفصلة من الدرجة الثانية.
الاجابه 4:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.
الاجابه 5:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.
الاجابه 6:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.
الاجابه 7:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.
الاجابه 8:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.
الاجابه 9:
في ميكانيكا الكم غير النسبية ، تبين أن عامل التشغيل Hamiltonian هو الشيء الذي يدفع بحالة النظام إلى الأمام في الوقت المناسب. لهذا السبب لديك المعادلة
هناك طريقة تقنية أكثر بقليل لوضعها "المشغل Hamiltonian هو مولد الترجمة الزمنية".
من ناحية أخرى ، عند الانتقال إلى نظرية حقل الكم ، يتمثل أحد الأهداف الرئيسية في التأكد من أن كل شيء يتسق مع النسبية - وبعبارة أخرى ، ترغب في أن تكون النظرية صريحة لورينتز. كما لاحظتم ، فإن Hamiltonian (بل والمفهوم الكامل لمعادلة Schrödinger) هو * ليس * بشكل صريح Lorentz-invariant ، وذلك ببساطة لأنه يفصل بين وقت الإحداثيات والإحداثيات المكانية كشيء خاص. أيضًا ، كما قد تتذكر من Lagrangian Mechanics ، تم الوصول إلى Hamiltonian في المقام الأول عن طريق إجراء Legendre Transform على Lagrangian:
الذي يفصل مرة أخرى على وجه التحديد مهلة شيء خاص. في QFT ، أنت لا تريد ذلك. هذا يقودنا إلى مفهوم الكثافة Lagrangian ، والتي يمكن بسهولة * * أن تكون صريحة Lorentz-invariant. على سبيل المثال ، أبسط QFT الممكنة هي نظرية المجال الحر العددية ، ولها كثافة لاغرانج التالية:
نظرًا لأن المؤشرات تتطابق بشكل صحيح ، فإن هذه الكمية لم تتغير بشكل واضح أثناء تحول لورنتز ، وبالتالي فإن كل الفيزياء المستمدة من تلك النقطة هي أيضًا. هذا هو السبب الرئيسي لكثافة لاغرانج يجب استخدامها بدلاً من كثافة هاميلتون في QFT.
تجدر الإشارة إلى أنه من الممكن * استخدام كثافة هاميلتون في QFT النسبية ، لكن الأمر أكثر تعقيدًا بسبب الفصل الواضح بين هاميلتون بين المكان والزمان ، لذلك يتم تجاهله عمومًا لصالح كثافة لاغرانج.
EDIT: تم دمج إجابتي على سؤال مختلف - شرح السؤال الأصلي الذي أجبته ذكر بشكل محدد استخدام عامل التشغيل Hamiltonian في ميكانيكا الكم غير النسبية مقابل استخدام كثافة Lagrangian في فيزياء الجسيمات / نظرية مجال الكم.